Question

已知直线l经过点A（1，3），求：
（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线l与两坐标轴的正向围成三角形面积最小时的直线方程；
（3）求圆x²-6y+y²+2y=0关于直线OA对称的圆的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）分类讨论：直线经过原点和不经过原点时两种情况：再利用截距式即可得出；
（2）利用截距式、基本不等式及其三角形的面积计算公式即可得出；
（3）利用轴对称的性质求出圆心关于直线OA的对称点即可得出．

解答： 解：（1）若直线l的截距为0，则直线方程为y=3x；
若直线l的截距不为零，则可设直线方程为：

x

a

+

y

b

=1，由题设有

1

a

+

3

a

=1，解得a=

1

4

，所以直线方程为：x+y-4=0，
综上，所求直线的方程为3x-y=0或x+y-4=0．
（2）设直线方程为：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），

1

a

+

3

b

=1，而面积S=

1

2

ab，
又由

1

a

+

3

b

=1　得1=

1

a

+

3

b

≥2

1 a × 3 b

，化为ab≥12．
等号当且仅当

1

a

=

3

b

=

1

2

成立，即当a=2，b=6时，面积最小为12
所求直线方程为3x+y-6=0
（3）由题可知直线OA的方程为y=3x，
又由圆x²-6y+y²+2y=0，知圆心为（3，-1），半径为

10

．
设圆心关于直线OA的对称点坐标为（x，y），由

3• x+3 2 - y-1 2 =0 y+1 x-2 =- 1 3

解得　x=-3，y=1．，
故所求圆的方程为　（x+3）²+（y-1）²=10．

点评：本题考查了直线的截距式、基本不等式及其三角形的面积计算公式、轴对称的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．