Question

过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，则下列命题
①若PA=PB=PC，∠C=90°，则O是△ABC的边AB的中点；
②若PA=PB=PC，则O是三角形ABC的外心；
③若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是三角形ABC的重心．
正确命题是（　　）

• A、①②③
• B、①②
• C、①③
• D、②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心的概念即可解决．

解答： 解：过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，
若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；又若∠C=90°，则O为AB的中点．
故①②正确．     
若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，
又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，
同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，故③错，应改为垂心．
故选：B

点评：本题主要考查空间的线面位置关系--垂直，解题时要结合平面几何的基础知识，同时考查逻辑推理能力，是一道基础题．