Question

已知关于x的函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）sinωx，-1＜ω＜1，若直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，则ω=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

，利用正弦函数的对称性可知2ω×

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），又-1＜ω＜1，于是可求得ω的值．

解答： 解：∵f（x）=（sinωxcos

π

3

+cosωxsin

π

3

）sinωx
=

1

2

sin²ωx+

3

2

sinωx•cosωx
=

1-cos2ωx

4

+

3

4

sin2ωx
=

3

4

sin2ωx-

1

4

cos2ωx+

1

4

=

1

2

（

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx）+

1

4

=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

，
∵直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴x=

π

3

时，f（

π

3

）为最值，
∴2ω×

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z
整理得：ω=

3

2

k+1，k∈Z．
∵-1＜ω＜1
∴取k=-1时，ω=-

1

2

符合题意，
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得f（x）=

1

2

sin（2ωx-

π

6

）+

1

4

是关键，也是难点，考查正弦函数的对称性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．