Question

数列{a_n}满足an=

n，n=2k-1 ak，n=2k

（k∈N^*），设f(n)=a1+a2+…+a2n-1+a2n，则f（2014）-f（2013）等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：根据题意可看出数列奇数项的和a1+a3+…+a2n-1=

2n-1(2n-1+1)

2

=4^n-1，偶数项的和a2+a4+…+a2n=a1+a2+…+a2n-1=f（n-1）．从而可以表示出f（n）=4^n-1+f（n-1），所以f（2014）-f（2013）=4²⁰¹³．

解答： 解：∵an=

n，n=2k-1 ak，n=2k

（k∈N*），
f(n)=a1+a2+…+a2n-1+a2n，
∴数列前2ⁿ项中奇数项的和，
a1+a3+…+a2n-1=

2n-1(2n-1+1)

2

=4^n-1，
数列前2ⁿ项中偶数项的和，
a2+a4+…+a2n=a1+a2+…+a2n-1
=f（n-1）．
∴f（n）=4^n-1+f（n-1），
∴f（2014）-f（2013）=4²⁰¹³．
故答案为：4²⁰¹³

点评：本题主要考查数列递推式的灵活应用，幂运算的简单应用等，属于难题．解题的关键是表示出f（n）．