Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若（2

OA

-

OB

）⊥

OC

，求cos2α；
（2）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求

OB

，

OC

夹角的大小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系可得2

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，再利用向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式即可得出；
（2）利用向量模的计算公式、向量夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵（2

OA

-

OB

）⊥

OC

，∴（2

OA

-

OB

）•

OC

=0，∴2

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，
∴6cosα=3sinα，∴tanα=2，
cos2α=cos2α-sin2α=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

．
(2)∵|

OA

+

OC

|=

13

，∴(

OA

+

OC

)2=10+6cosα=13，
∴cosα=

1

2

，又α∈(0，π)，∴α=

π

3

．

OB

•

OC

=3sinα=

3

2

3

，|

OB

|=3，|

OC

|=1．
∴cosα=

3

2

，α∈[0，π]，∴α=

π

6

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算、三角函数基本关系式、倍角公式、向量模的计算公式、向量夹角公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．