Question

14．A，B二面角α-l-β的棱l上两点，P∈α，Q∈β，且∠PAB=∠ABQ=$\frac{π}{3}$，PA=QB=$\frac{1}{2}$AB=2，PQ=3，则二面角α-l-β的余弦值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 在平面α内过P作PC⊥l，交AB于点C，在平面β内作QD⊥l，交AB于D，求出AC=BD=1，PC=QD=$\sqrt{3}$，CD=2，设二面角α-l-β的平面角为θ，由${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}$）²=${\overrightarrow{PC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DQ}}^{2}$+2|$\overrightarrow{PC}$|•|$\overrightarrow{DQ}$|•cos（180°-θ），能求出二面角α-l-β的余弦值．

解答 解：如图，在平面α内过P作PC⊥l，交AB于点C，在平面β内作QD⊥l，交AB于D，
∵∠PAB=∠ABQ=$\frac{π}{3}$，PA=QB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=BD=1，PC=QD=$\sqrt{3}$，CD=4-1-1=2，
设二面角α-l-β的平面角为θ，
∵PQ=3，${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DQ}$）²=${\overrightarrow{PC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DQ}}^{2}$+2|$\overrightarrow{PC}$|•|$\overrightarrow{DQ}$|•cos（180°-θ），
∴9=3+3+4-2×$\sqrt{3}×\sqrt{3}×cosθ$，
解得cosθ=$\frac{1}{6}$．
∴二面角α-l-β的余弦值是$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法、余弦定理的合理运用．