Question

6．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，设P为曲线C₁上的动点，当点C₁到曲线C₂上点的距离最小时，点P的直角坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数化为普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，利用互化公式化为普通方程x+y-8=0．设与直线x+y-8=0平行且与椭圆相切的直线方程为：x+y+m=0．与椭圆方程联立，利用相切的性质解得m，即可得出．

解答 解：曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数化为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，化为x+y-8=0．
设与直线x+y-8=0平行且与椭圆相切的直线方程为：x+y+m=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为：4x²+6mx+3m²-3=0，（*）
由△=36m²-16（3m²-3）=0，解得m=±2，
取m=-2，代入（*）可得：（2x-3）²=0，解得x=$\frac{3}{2}$，代入x+y-2=0，解得y=$\frac{1}{2}$．
∴切点P$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$满足条件．
故答案为：$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标化为直角坐标方程、直线与椭圆相切的性质、平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．