Question

3．已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（I）?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，求函数|g（x）|的值域．

Answer 1

分析 （I）?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，f（t）≤1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，|g（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{1，-1≤x≤0}\\{-2x-1，x＜-1}\end{array}\right.$，作出|g（x）|的图象，即可求函数|g（x）|的值域．

解答 解：（I）由题意，f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-2t-1，t＜-1}\\{1，-1≤t≤0}\\{2t+2，t＞0}\end{array}\right.$，
?m∈R，使得m²+2m+f（t）=0成立，
∴△=4-4f（t）≥0，
∴f（t）≤1，
t＜-1时，f（t）=-2t-1≤1，∴t≥-1，不合题意，舍去；
-1≤t≤0时，f（t）=1，此时f（t）≤1恒成立；
t＞0时，f（t）=2t+1≤1，∴t≤0，不合题意，舍去；
综上所述，t的取值范围为[-1，0]；
（Ⅱ）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{x}}，（0＜x＜\frac{1}{2}）}\\{f（x），（x≤0）}\end{array}\right.$，∴|g（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{1，-1≤x≤0}\\{-2x-1，x＜-1}\end{array}\right.$．
作出|g（x）|的图象，

则函数|g（x||的值域为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．