Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面是菱形，.

（I）证明：；

（II）若，求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析； （II） .

【解析】

（I）连接交于点，连接，通过证明以及，证得平面，由此证得，根据垂直平分线的性质可知.（II）先证得平面，由此以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量以及平面的法向量，由此求得线面角的正弦值，进而求得余弦值.

（I）证明：连接交于点，连接，

因为四边形为菱形，所以且为中点,

所以平面，

平面，

为中点，为的垂直平分线，

（II）已知，，故

由（I）知则，

又

又平面

故以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系

则、、、

设平面的一个法向量为，则

，设

设直线与平面所成角为

则

故直线与平面所成角的余弦值为