【题目】如图，直三棱柱
的所有棱长相等，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）当
是
的中点时，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）设三棱柱的棱长为2，
为
的中点，连结
，易证
平面
，取
的中点
，连结
，易知直线
两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线
的方向为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，从而可证明
，
，进而可证明
平面
；
（2）结合（1），分别求出平面
、平面
的法向量，然后利用空间向量法求出二面角
的余弦值，进而可求出答案.
（1）设三棱柱的棱长为2，为的中点，连结，易知
，又平面
平面，所以平面，取的中点，连结，易知直线两两垂直，故以为坐标原点，分别以射线的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
因为
，
，所以，，即
，
，又
，所以平面.
（2）由（1）知，
，
，
，
则
，
，设平面的法向量为
，
则
，即
，令
，可得
，
，可得平面的一个法向量
，
平面的一个法向量为
，
设二面角的大小为
，则
，
则
.
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【题目】如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，边长为2，
为等腰直角三角形，
，
，
，平面
平面ABCD.
(1)证明：
平面PAD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
(3)棱PD上是否存在一点E，使得
平面PBC？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，且椭圆C的长轴是圆
的一条直径.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求
的取值范围.
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【题目】已知函数
，
（
为自然对数的底）。
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间
的
，
，且
，使
，证明：
；
（Ⅲ）对于函数与
定义域内的任意实数
，若存在常数
，
，使得
和
都成立，则称直线
为函数与的分界线。试探究当
时，函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由。
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【题目】西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸.203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（ ）
A.18B.36C.72D.144
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【题目】已知定点
，
，直线
、
相交于点
，且它们的斜率之积为
，记动点的轨迹为曲线
。
（1）求曲线的方程；
（2）过点
的直线与曲线交于
、
两点，是否存在定点
，使得直线
与
斜率之积为定值，若存在，求出
坐标；若不存在，请说明理由。
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【题目】如图，在三角形
中，
，
，平面与半圆弧
所在的平面垂直，点
为半圆弧上异于
的动点，
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）当三棱锥
体积最大时，求锐二面角
的余弦值.
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