Question

3．已知$\overrightarrow m$=（cosα，sinα），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$，-1），α∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$，求角α的值；
（2）求|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直的坐标公式建立方程进行求解即可．
（2）根据向量和以及向量模长的公式进行化简求解．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow m=（{cosα，sinα}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$
所以$\sqrt{3}cosα-sinα=0$，…（2分）
   即$tanα=\sqrt{3}$，又α∈（0，π），…（4分）
所以$α=\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）因为$\overrightarrow m+\overrightarrow n=（cosα+\sqrt{3}，sinα-1）$，…（8分）
所以$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|=\sqrt{{{（{cosα+\sqrt{3}}）}^2}+{{（{sinα-1}）}^2}}=\sqrt{5+2\sqrt{3}cosα-2sinα}$=$\sqrt{5+4cos（α+\frac{π}{6}）}$…（12分）
因为α∈（0，π），所以$α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
故当$α+\frac{π}{6}=π$时，$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|$取到最小值1…（14分）

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，根据向量的坐标公式以及向量垂直以及向量模长的公式是解决本题的关键．