Question

已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

Answer 1

考点：排序不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a-b）²≥0，得a³+b³≥a²b+ab²，同理，a³+c³≥a²c+ac²，b³+c³≥b²c+bc²三式相加，能证明2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

解答： 证明：先证明：a³+b³≥a²b+ab²，
∵（a³+b³）-（a²b+ab²）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²
≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，取等号的条件是a=b，
同理，a³+b³≥a²b+ab²，
a³+c³≥a²c+ac²，
b³+c³≥b²c+bc²
三式相加，得：
2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
取等号的条件是a=b=c，
∴2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．