Question

设数列的前项和为，且方程有一个根为，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设方程的另一个根为，数列的前项和为，求的值；
（3）是否存在不同的正整数，使得，，成等比数列，若存在，求出满足条件的，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）利用等差数列的定义证明即可，（2），（3）存在不同的正整数，使得，，成等比数列

解析试题分析：（1）∵是方程的根，
∴
当时，，∴，
解得，∴                       2分
当时，，∴
化简得,∴，∴，
∴，又                  5分
∴数列是以为首项，为公差的等差数列         6分
（2）由（1）得，
∴，带入方程得，，∴,
∴原方程为，∴，∴     8分
∴                ①
          ②
① — ②得
   11分
,∴                          12分
（3）由（1）得，，假设存在不同的正整数，使得，，成等比数列，则
即,∵               14分
∴,化简得，
∴,又∵，且
∴∴，∴                   16分
∴存在不同的正整数，使得，，成等比数列
考点：本题考查了数列的通项与求和
点评：数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等