Question

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD．
（1）求证：$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$；
（2）若AB=3，AD=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=1，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法则进行证明；
（2）将所求利用梯形的各边对应的向量表示，然后进行数量积的运算即可．

解答 （1）证明：因为梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD．
所以$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$；
（2）解：因为AB=3，AD=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=1，
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}）$=$-{\overrightarrow{AB}}^{2}$$+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$
=-9+1+$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}）$=-8+$\overrightarrow{AB}•\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$=-8+6=-2．

点评 本题考查了平面向量的运算，包括加减运算和数量积运算；属于基础题．