Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（$\sqrt{3}$+1）acosB-2bcosA=c
（1）求$\frac{tanA}{tanB}$的值；
（2）若a=$\sqrt{6}$，B=$\frac{π}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式整理可得：$\sqrt{3}$sinAcosB=3cosAsinB，即可得解$\frac{tanA}{tanB}$=$\sqrt{3}$．
（2）由（1）及已知可求tanA=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，由正弦定理可求得b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵（$\sqrt{3}$+1）acosB-2bcosA=c，
∴利用正弦定理整理可得：$\sqrt{3}$sinAcosB+sinAcosB-2sinBcosA=sinC=sinAcosB+cosAsinB，
∴$\sqrt{3}$sinAcosB=3cosAsinB，
∴$\frac{tanA}{tanB}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{4}$，tanB=1，$\frac{tanA}{tanB}$=$\sqrt{3}$，可得：tanA=$\sqrt{3}$，A为三角形内角，A=$\frac{π}{3}$，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×2×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．