Question

14．已知直线$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$（a，b是实数）与圆O：x²+y²=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是等边三角形，点P（a，b）是以点M（0，$\sqrt{2}$）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最大值为（6+4$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由△AOB是等边三角形得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a²+b²=4上点P（a，b）到焦点（0，$\sqrt{2}$）的距离最大值，即可得出结论．

解答 解：由圆x²+y²=1，所以圆心（0，0），半径为1
所以|OA|=|OB|=1，
因为△AOB是等边三角形，
所以圆心（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以2a²+b²=4．
因此，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a²+b²=4上点P（a，b）到焦点（0，$\sqrt{2}$）的距离最大值，由椭圆的性质，可知最大值为2+$\sqrt{2}$．
所以圆M的面积最大值为π（2+$\sqrt{2}$）²=（6+4$\sqrt{2}$）π．
故答案为：（6+4$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．