Question

4．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（Ⅱ）解不等式：f（2x-1）＜f（1-3x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，利用函数的单调性的定义证明f（x）在[-1，1]上单调递增．
（Ⅱ）利用f（x）在[-1，1]上单调递增，列出不等式组，即可求出不等式的解集．
（Ⅲ）问题转化为m²-2am≥0，对a∈[-1，1]恒成立，通过①若m=0，②若m≠0，分类讨论，判断求解即可．

解答 解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]，∵f（x）为奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（x1）+f（-x2）}{x1+（-x2）}$•（x₁-x₂），…（2分）
由已知得$\frac{f（x1）+f（-x2）}{x1+（-x2）}$＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴$\left\{\begin{array}{l}-1≤2x-1≤1\\-1≤1-3x≤1\\ 2x-1＜1-3x\end{array}\right.$…（6分）
∴不等式的解集为$\left\{{\left.x\right|0≤x＜\frac{2}{5}}\right\}$．…（7分）
（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上单调递增．∴在[-1，1]上，f（x）≤1．
问题转化为m²-2am+1≥1，即m²-2am≥0，对a∈[-1，1]恒成立．…（9分）
下面来求m的取值范围．设g（a）=-2m•a+m²≥0．
①若m=0，则g（a）=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0，对a∈[-1，1]恒成立，
必须g（-1）≥0且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
综上，m=0 或m≤-2或m≥2…（12分）

点评 本题考查函数的单调性的判断与应用，函数恒成立的应用，考查计算能力．