Question

12．等腰△OAB中，∠A=∠B=30°，E、F分别是直线OA、OB上的动点，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$上的动点，$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=2，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=9，则λ=-$\frac{1}{2}$；若λ+2μ=2，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值是-10．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质解出AB，代入数量积公式求出AE，从而得出λ的值．
（2）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{BE}$，用μ表示出λ，计算出数量积得到关于μ得函数，求出此函数的最小值即可．

解答 解：（1）过O作OC⊥AB，则C是AB的中点，∵OA=2，∠OAB=30°，∴AC=$\sqrt{3}$，AB=2AC=2$\sqrt{3}$．
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=AE•AB•cos30°=9，∴AE=3，∴$\overrightarrow{OE}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，∴λ=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵λ+2μ=2，∴λ=2-2μ.$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=OA×OA×cos120°=-2．
∵$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OF}$=-$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OE}$=-$\overrightarrow{OB}$+（2-2μ）$\overrightarrow{OA}$．
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$=（-$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$）•（-$\overrightarrow{OB}$+（2-2μ）$\overrightarrow{OA}$）=（2μ-2）${\overrightarrow{OA}}^{2}$-μ${\overrightarrow{OB}}^{2}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+μ（2-2μ）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=4（2μ-2）-4μ-2-2μ（2-2μ）=4μ²-10．
∴当μ=0时，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BE}$取得最小值-10．
故答案为-$\frac{1}{2}$，-10．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，函数的最值，属于中档题．