Question

5．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=8，S_n=na_n+n（n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设W_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求W_n；
（3）设b_n=$\frac{1}{{n（12-{a_n}）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，（n∈N^*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=8，S_n=na_n+n（n-1），将n换为n-1，相减，运用等差数列的定义，求出公差，代入通项公式、前n项和即得结论；
（2）判断哪几项为非负数，再分类讨论，即可求得W_n；
（3）求得数列的通项，利用裂项法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到结论．

解答 解：（1）a₁=8，S_n=na_n+n（n-1），
可得S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2），n＞1，
两式相减可得，a_n=na_n-（n-1）a_n-1+2（n-1），
即为a_n-a_n-1=-2，
可得a_n=a₁+（n-1）d=8-2（n-1）=10-2n；
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴数列{a_n}的前5项为非负数，后面的项为负数．
∴n≤5时，W_n=S_n=n（9-n）；
n≥6时，W_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=n（n-9）+40=n²-9n+40，
∴W_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（9-n），n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$；
（3）b_n=$\frac{1}{{n（12-{a_n}）}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
∴n=1时，T_n取得最小值$\frac{1}{4}$，
∵对任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立，
∴$\frac{1}{4}$＞$\frac{m}{32}$，∴m＜8，
∴使得对任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立的最大整数为7．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．