Question

设是同时符合以下性质的函数组成的集合：
①，都有；②在上是减函数．
（1）判断函数和()是否属于集合，并简要说明理由；
（2）把（1）中你认为是集合中的一个函数记为,若不等式对任意的总成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1），；（2）.

试题分析：（1）对和分别判断其单调性，然后再求出其值域即可得到答案；（2）对任意的总成立，则可得，问题转化为求函数的最大值，通过判断其单调性即可得到最大值.
试题解析：（1）∵在时是减函数，的值域为，
∴不在集合中                                   3分
又∵时，，,∴，            5分
且在上是减函数，
∴在集合中                     7分
（2），
，   9分
在上是减函数，，               11分
又由已知对任意的总成立，
∴，因此所求的实数的取值范围是                   16分