Question

已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为
（3）

解析试题分析：函数的定义域为，
． 1分
（Ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．4分
（Ⅱ）函数的定义域为．
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． 5分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； 6分
由，即，得．7分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为．   8分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． 9分
（Ⅲ））因为存在一个使得，
则，等价于.10分
令，等价于“当 时，”. 
对求导，得.  11分
因为当时，，所以在上单调递增. 13分
所以，因此.   14分
另解：设，定义域为，
.
依题意，至少存在一个，使得成立，
等价于当 时，.   10分
（1）当时，
在恒成立，所以在单调递减，
只要，不满足题意.  11分
（2）当时，令得.
（ⅰ）当，即时，
在