Question

已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一点P到直线l的距离为d．当d取得最大时对应P的坐标（m，n），设g（x）=mx+

n

x

-2lnx．
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程：mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx根的个数．

Answer 1

（1）由题意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴g(x)=mx+

n

x

-2lnx=x-

1

x

-2lnx
∴g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程mx+

n

x

-g(x)=2x3-4ex2+tx；
∴2lnx=2x³-4ex²+tx
∵x＞0，∴方程为

2lnx

x

=2x2-4ex+t
令L(x)=

2lnx

x

，H（x）=2x²-4ex+t，
∵L′(x)=2

1-lnx

x2

，当x∈（0，e）时，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上为增函数；x∈[e，+∞）时，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上为减函数，
当x=e时，L(x)max=L(e)=

2

e

H（x）=2x²-4ex+t=2（x-e）²+t-2e²，
∴可以分析①当t-2e2＞

2

e

，即t＞2e2+

2

e

时，方程无解．
②当t-2e2=

2

e

，即t=2e2+

2

e

时，方程有一个根．
③当t-2e2＜

2

e

，即t＜2e2+

2

e

时，方程有两个根．