Question

3．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求：C．
（2）若c=$\sqrt{7$，S_△ABC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，可得2cosCsinC=sinC，结合C的范围，可得cosC=$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求ab=6，由余弦定理可求a+b的值，从而可求△ABC的周长的值．

解答 解：（1）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，可得：2cosCsin（A+B）=sinC，即：2cosCsinC=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{7$，S_△ABC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：ab=6，
∵由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18，解得：a+b=5，
∴△ABC的周长=a+b+c=5+$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．