Question

12．已知△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，点M为边AB上任意一点，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范围是（　　）

• A． [0，100]
• B． [36，64]
• C． （36，100）
• D． [6，10]

Answer 1

分析 根据已知条件判断出△ABC为Rt△，然后以点C为坐标原点，射线CA，CB分别为x，y轴正方向建立直角坐标系，设$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}$，把$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$转化为含有λ的代数式，由λ的范围可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CM}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$的取值范围．

解答 解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC²+BC²=AB²，即△ABC为直角三角形．
以点C为坐标原点，射线CA，CB分别为x，y轴正方向建立直角坐标系，
则A（6，0），B（0，8）．
设$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}$=（6，0）+λ（-6，8）=（6-6λ，8λ）．
其中0≤λ≤1，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CM}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=（6-6λ，8λ）•（6，8）=36+28λ．
∵0≤λ≤1，∴36≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$≤64．
故选：B．

点评 本题考查直角三角形边的关系，以及向量减法的几何意义，向量数量积的计算公式，三角函数的定义，以及数形结合解题的方法，是中档题．