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    【题目】2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段： ,,,， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.

    （Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；

    （Ⅱ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中年龄在的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，及数学期望.

    【答案】(Ⅰ)55；(Ⅱ)答案见解析.

    【解析】试题分析： 设名群众年龄的中位数为，根据频率分布直方图数据即可求出的值，即名群众年龄的中位数求出年龄在的概率，由题意可知， 的所有可能取值为，求出相对应的概率，即可求得的分布列，及数学期望

    解析：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则

    ，解得，

    即80名群众年龄的中位数55．

    （Ⅱ）由频率分布直方图可知，任意抽取1名群众，年龄恰在的概率为,

    由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，

    ,

    的分布列为

    0

    1

    2

    3

    所以.或者

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于两点.

    （I）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；

    （II）设定点，求.

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    【题目】如图，在三棱柱中， ， 平面，侧面是正方形，点为棱的中点，点、分别在棱、上，且， ．

    （1）证明：平面平面；

    （2）若，求二面角的余弦值．

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    【题目】某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人）

    性别

    学生人数

    抽取人数

    女生

    18

    男生

    3

    （1）求和；

    （2）若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

    （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

    （2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.

    (I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数的函数关系式;

    (II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为 (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:

    某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

    【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析.

    【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.

    详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资 (单位:元) 与销售件数的关系式为: .

    乙公司一名推销员的日工资 (单位: 元) 与销售件数的关系式为:

    (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得的分布列为

    122

    124

    126

    128

    130

    0.2

    0.4

    0.2

    0.1

    0.1

    记乙公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得的分布列为

    120

    128

    144

    160

    0.2

    0.3

    0.4

    0.1

    ∴

    ∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.

    点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

    第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

    第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

    第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

    第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值

    【题型】解答题
    【结束】
    19

    【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形， 平面， ， ， ， 分别是， 的中点.

    （1）证明： ；

    （2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知直线， (为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

    （Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

    （Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.

    【答案】（I）；（II）.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）将由代入，化简即可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）将的参数方程代入，得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.

    试题解析：（Ⅰ）由及，得，即

    所以曲线的极坐标方程为

    （II）将的参数方程代入，得

    ∴, 所以，又，

    所以，且,

    所以,

    由，得，所以.

    故的取值范围是.

    【题型】解答题
    【结束】
    23

    【题目】已知、、均为正实数.

    （Ⅰ）若，求证：

    （Ⅱ）若，求证：

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    【题目】已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：

    (I)证明：平面 平面;

    (Ⅱ)求二面角的余弦值；

    (Ⅲ)若点在棱上，满足， ，点在棱上，且，求的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】（题文）某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：

    方式

    实施地点

    大雨

    中雨

    小雨

    模拟实验总次数

    A

    甲

    4次

    6次

    2次

    12次

    B

    乙

    3次

    6次

    3次

    12次

    C

    丙

    2次

    2次

    8次

    12次

    假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：

    (1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

    (2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．

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