Question

如图，双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂的顶点为坐标原点O，焦点为F₂，过F₁的直线与抛物线C₂的一个交点为A，与圆x²+y²=a²相切于点M，若线段F₁A的中点恰为M，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A、

  1+ 5

  2

• B、

  1+ 3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  3+ 5

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：连接OM，AF₂，过A作AN⊥x轴，垂足为N，求出抛物线方程和准线方程，由直线和圆相切的条件可得|OM|=a，
再由中位线定理可得|AF₂|=2a，结合抛物线的定义可得A的坐标，过A作AH⊥l，垂足为H，求出|HF₁|，即可得到4b²-4a²=4c（2a-c），再由a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到．

解答： 解：连接OM，AF₂，过A作AN⊥x轴，垂足为N，
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），
则抛物线的方程为y²=4cx，准线方程为x=-c，
作出准线l，过A作AH⊥l，垂足为H，
则有|AN|=|HF₁|，
由直线AF₁与圆x²+y²=a²相切于点M，则|OM|=a，
由OM为三角形AF₁F₂的中位线，可得|AF₂|=2|OM|=2a，
由抛物线的定义可得|AF₂|=|AH|=x_A+c，即x_A=2a-c，
即有y_A=

4c(2a-c)

，
又|MF|=

c2-a2

=b，则|AF₁|=2b，
在直角△HAF₁中，|HF₁|=

|AF1|2-|AH|2

=

4b2-4a2

，
即有4b²-4a²=4c（2a-c），
即c²-a²-a²=2ac-c²，
即有c²-a²-ac=0，
由e=

c

a

，即有e²-e-1=0，
由于e＞1，解得e=

1+ 5

2

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，运用三角形的中位线定理和勾股定理是解题的关键．