Question

8．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}，x∈[{1，+∞}）$
（1）当$a=\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）在[1，+∞）的单调性，并加以证明．
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在[1，+∞）上递增．求出f（x）的导数，判断在[1，+∞）上的符号，即可得到单调性；
（2）由题意可得$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，由g（x）=x²+2x，判断g（x）在[1，+∞）的单调性，可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+\frac{1}{2}}{x}$=x+$\frac{1}{2x}$+2，
且函数f（x）在[1，+∞）上递增．
理由：f（x）的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
由x≥1，可得0＜$\frac{1}{2{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
则f′（x）＞0，可得函数f（x）在[1，+∞）上递增；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即为$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
即有-a＜x²+2x在x∈[1，+∞）恒成立，
由g（x）=x²+2x在x∈[1，+∞）递增，
可得g（x）的最小值为g（1）=3．
则-a＜3，即有a＞-3．
故实数a的取值范围是（-3，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，注意运用导数证明，也可以运用单调性的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．