Question

已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；
（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x-

1

x

有唯一的公共点；
（Ⅲ）设0＜a＜b，比较

f(b)-f(a)

2

与

b-a

b+a

的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f'（x），设切点为（x₀，y₀），则k=

1

x0

=1，可得x₀=1，进而可得y₀，代入y=x+m即得m；
（Ⅱ）令h（x）=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，问题转化为函数h（x）有唯一零点，利用导数可判断h（x）的单调性，易知1为其一零点，从而可得结论；
（Ⅲ）作差法：

f(b)-f(a)

2

-

b-a

b+a

=

lnb-lna

2

-

b-a

b+a

=

1

2

ln

b

a

-

b a -1

b a +1

，易知

b

a

＞1，构造函数φ（x）=

1

2

lnx-

x-1

x+1

，（x＞1），利用导数可判断φ（x）在（1，+∞）内的单调性，进而可得x＞1时，φ（x）＞0，故可得结论；

解答： 解：（I）f'（x）=

1

x

，
设切点为（x₀，y₀），则k=

1

x0

=1，
∴x₀=1，y₀=lnx₀=ln1=0，
代入y=x+m，得m=-1．
（II）令h（x）=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，
则h′(x)=

1

x

-1-

1

x2

=

-x2+x-1

x2

=

-(x- 1 2 )2- 3 4

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）内单调递减．
又h（1）=ln1-1+1=0，
∴x=1是函数h（x）唯一的零点，
故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．
（III）

f(b)-f(a)

2

-

b-a

b+a

=

lnb-lna

2

-

b-a

b+a

=

1

2

ln

b

a

-

b a -1

b a +1

，
∵0＜a＜b，∴

b

a

＞1，
构造函数φ（x）=

1

2

lnx-

x-1

x+1

，（x＞1），
则φ′（x）=

1

2x

-

x+1-(x-1)

(x+1)2

=

1

2x

-

2

(x+1)2

=

(x-1)2

2x(x+1)2

＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）内单调递增．
又当x=1时，φ（1）=0，
∴x＞1时，φ（x）＞0，即

1

2

lnx＞

x-1

x+1

，
则有

1

2

ln

b

a

＞

b a -1

b a +1

成立，
即

lnb-lna

2

＞

b-a

b+a

，即

f(b)-f(a)

2

＞

b-a

b+a

．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的零点、函数的最值，考查函数思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．