Question

设函数f（x）=x²-|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）已知a≥0，若对任意x∈R都有f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为偶函数，建立条件关系即可求实数a的值；
（2）根据函数的性质只要求出函数f（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）若f（x）的为偶函数，则f（-x）=f（x），
f（x）=x²-|x-a|，f（-x）=（-x）²-|-x-a|=x²-|x+a|，
故|x-a|=|x+a|，
两边平方得（x-a）²=（x+a）²，展开得4ax=0恒成立，
∴a=0，
即若f（x）为偶函数，则a=0． 
（2）f（x）=

x2-x+a  x≥a x2+x-a  x＜a

设f1(x)=x2-x+a(x≥a)，f2(x)=x2+x-a(x＜a)，
①求f1(x)=x2-x+a(x≥a)，
即f1(x)=(x-

1

2

)2+a-

1

4

(x≥a)的最小值：
若a＞

1

2

，f1(x)min=f1(a)=a2；
若0≤a≤

1

2

，f1(x)min=f1(

1

2

)=a-

1

4

，
②求f2(x)=x2+x-a(x＜a)，
即f2(x)=(x+

1

2

)2-a-

1

4

(x＜a)的最小值，
∵a＞0＞-

1

2

，
∴f2(x)min=f2(-

1

2

)=-a-

1

4

，
比较-a-

1

4

与a²，a-

1

4

的大小：
∵a≥0，
∴-a-

1

4

＜0≤a2，-a-

1

4

＜a-

1

4

，
故f(x)min=-

1

4

-a，
“f（x）≥-1对x∈R恒成立”即为“f（x）_min≥-1（x∈R）”
令f(x)min=-

1

4

-a≥-1，
解得0≤a≤

3

4

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数恒成立问题，将函数恒成立转化为求函数的最值是解决本题的根据，考查学生的计算能力．