Question

已知函数f（x）=

a

x

+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）-

1

2b

x²-x（b∈R且b≠0），求h（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，求函数的导数，即可求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=0时，根据函数的导数和极值点的关系，即可求h（x）在定义域内的极值点；
（Ⅲ）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=

2

x

+x，g（x）=

2

x

+x+lnx，（x＞0）
g'（x）=1+

1

x

-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
由g'（x）＞0得，x＞1，此时函数单调递增，
由g'（x）＜0得，0＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数g（x）的单调递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）；
（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）-

1

2b

x²-x=lnx-

1

2b

x²，（x＞0），
h'（x）=

1

x

-

x

b

=

b-x2

bx

，
①当b＜0时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，h（x）在定义域内的无极值点；
②当b＞0时，令h'（x）=0，得x=

b

，
则

x	（0， b ）	b	（ b ，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	递增	极大值	递减

由表格可知：函数h（x）的极大值点为x=

b

．
（Ⅲ）?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，
则等价为

a

x1

+x1-(

a

x2

+x2)＜ln?x2-ln?x1 成立，
即

a

x1

+x1+ln?x1＜

a

x2

+x2+ln?x2，
即g（x）=

a

x

+x+lnx，在x≥1上为增函数，
∴g'（x）=-

a

x2

+1+

1

x

=

x2+x-a

x2

≥0恒成立，
即a≤x²+x在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2，
即实数a的取值范围a≤2．

点评：本题主要考查函数的单调性和极值的判断，利用导数和函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．