Question

已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5，6}，同时满足条件“若a∈M，则6-a∈M”
（1）请分别写出所有有且只有一个和有且只有两个元素的集合M；
（2）求满足题意的M的个数；
（3）若用S（M）表示集合M中所有元素的和，求S（M）的最大值．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）根据条件确定元素与元素之间的关系，即可得到满足条件的集合M；
（2）根据分类讨论，确定满足条件的集合个数即可；
（3）若确定满足条件的最大集合M，即可求S（M）的最大值．

解答： 解：根据条件若a=1，则6-a=5，
若a=2，则6-a=4，
若a=3，则6-a=3，
若a=4，则6-a=2，
若a=5，则6-a=1，
若a=6，则6-a=0不成立，
即{2，4}，{3}，{1，5}对应的元素在集合中必须同时出现．
（1）满足有且只有一个元素的集合M={3}，
有且只有两个元素的集合M={2，4}或{1，5}；
（2）∵{2，4}，{3}，{1，5}对应的元素在集合中必须同时出现．
∴满足条件的集合为三个集合选1个，选2个，选3个构成的集合，即
选一个组成的集合为：{2，4}，{3}，{1，5}，
选2个组成的集合为：{2，4，3}，{1，5，3}，{2，4，1，5}，
选3个组成的集合为：{2，4，3，1，5}，
∴满足条件的集合个数为7个．
（3）若用S（M）表示集合M中所有元素的和，
则当M={2，4，3，1，5}时，
S（M）的最大值为1+2+3+4+5=15．

点评：本题主要考查元素和集合关系的判断和推理．根据条件确定集合元素之间的关系是解决本题的关键．