Question

已知a∈R且a＞-1，函数f(x)=x3-

3

2

(3-a)x2+6(1-a)x，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）g（a）为函数f（x）在[-1，3]上的最小值，求g（a）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出f'（x）=3（x-2）[x-（1-a）]，解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的单调区间，注意a的范围；
（2）由 （1）可知函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1-a），（2，+∞），递减区间为（1-a，2），按照极值点1-a在区间[-1，3]左侧、内部两种情况进行讨论，由单调性可求得函数的最小值g（a），当1-a≥-1时，要注意讨论f（-1）与f（2）的大小；

解答： 解：（1）∵f(x)=x3-

3

2

(3-a)x2+6(1-a)x，
∴f'（x）=3x²-3（3-a）x+6（1-a）=3（x-2）[x-（1-a）]，
令f'（x）=0，解得x₁=2，x₂=1-a，
∵a＞-1，∴1-a＜2，
由f'（x）＞0，得x＜1-a，或x＞2；由f'（x）＜0，得1-a＜x＜2；
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1-a），（2，+∞），递减区间为（1-a，2）；
（2）由 （1）可知函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1-a），（2，+∞），递减区间为（1-a，2），
①当1-a＜-1，即a＞2时，g（a）=f（2）=-6a+2；
②当1-a≥-1，即-1＜a≤2时，f(-1)=

15

2

a-

23

2

，
此时g（a）=min{f（2），f（-1）}，
令f（-1）＞f（2），解得1＜a≤2，故当1＜a≤2时，g（a）=f（2）=-6a+2；
令f（-1）≤f（2），解得-1＜a≤1，故当-1＜a≤1时，g(a)=f(-1)=

15

2

a-

23

2

；
综合①②可得：g(a)=

15 2 a- 23 2 ，   -1＜a≤1 -6a+2，     a＞1

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．