Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：

2b

sin2A

=

c

sinA

．求：函数y=3sin2A+sin2B+2

3

sinBsinA的单调减区间和取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：根据正弦定理以及两角和的正弦公式，得到条件cosC=0，然后利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：∵

2b

sin2A

=

c

sinA

，
∴

2b

2sin?Acos?A

=

c

sin?A

，
即b=ccosA，
∴sinB=sinCcosA，
即sin（A+C）=sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，
即cosC=0，
∴C=

π

2

，即B=

π

2

-A，0＜A＜

π

2

，
则y=3sin2A+sin2B+2

3

sinBsinA=3sin?2A+cos?2A+2

3

cos?Asin?A=1+2sin?2A+

3

sin?2A=2-cos?2A+

3

sin?2A
=2+2sin?(2A-

π

6

)，
∵0＜A＜

π

2

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
即当

π

2

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，即

π

3

＜A＜

π

2

时，函数单调递减，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，
∴1＜2+2sin?(2A-

π

6

)≤4，
即函数的递减区间是（

π

3

，

π

2

），函数的取值范围是（1，4]．

点评：本题主要考查正弦定理的应用以及两角和的正弦公式，考查学生的运算能力，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．