Question

是否存在实数m，使得函数y=sin2x+mcos（x+

π

4

）的最大值为7？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令 t=cos（x+

π

4

）=

2

2

cosx-

2

2

sinx∈[-1，1]，平方求得sin2x的解析式，则函数y=-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1．再分当-1≤

m

4

≤1时、当

m

4

＞1时、当

m

4

＜-1时三种情况，分别利用二次函数的性质，依据函数的最大值为7，求得m的值，从而得出结论．

解答： 解：令 t=cos（x+

π

4

）=

2

2

cosx-

2

2

sinx∈[-1，1]，平方可得 t²=

1

2

-

1

2

sin2x，
故 函数y=sin2x+mcos（x+

π

4

）=1-2t² +mt=-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1，
∴当-1≤

m

4

≤1时，t=-

m

4

时，函数y取得最大值为1+

m2

8

=7，解得m=±4

3

（舍去）．
当

m

4

＞1时，函数y在-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1在[-1，1]上是增函数，
则当t=1时，函数取得最大值为 1-2+m=7，解得m=8．
当

m

4

＜-1时，函数y在-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1在[-1，1]上是减函数，
则当t=-1时，函数取得最大值为 1-2-m=7，解得m=-8．
综上，存在m=±8，满足条件．

点评：本题主要考查三角函数的值域，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．