Question

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列函数：①f（x）=3x-1；②f（x）=|x|；③f（x）=cosx；④f（x）=x³-x．具有性质P的函数的序号是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的周期性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据新定义可知，要使?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），利用函数的单调性结合定义分别去判断．

解答： 解：①∵f（x）=3x-1在定义域R上单调增函数，
∴满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）具有具有性质P．
②∵f（x）=|x|，
∴若满足f（x+c）＞f（x-c）恒成立，
即|x+c|＞|x-c|，
平方得cx＞0，
∵c＞0，∴不等式等价为x＞0，不满足定义域为R，
故此函数f（x）不具有具有性质P．
③∵f（x）=cosx的最小正周期为2π，在定义域R上的不是单调增函数，
∴不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有性质P．
④∵f（x）=x³-x
∴要想满足f（x+c）＞f（x-c），
则（x+c）³-（x+c）＞（x-c）³-（x-c），
整理得3x²+c-1＞0，
要使不等式恒成立，
则判别式△=-4（c-1）＜0，
即c＞1，即可，∴存在常数c，满足f（x+c）＞f（x-c）．故此函数f（x）具有性质P．
故答案为：①④

点评：本题主要考查新定义，利用函数的单调性是解决本题的关键．考查学生的理解能力．