Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x²+2x，那么不等式f（x+1）＜3的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，求解不等式即可．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=x²-2x，
∴f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x ，x＞0

，
∵函数f（x）为偶函数，
∴f（|x|）=f（x），
∴f（x+1）=f（|x+1|）＜3，
∴f（|x+1|）=（x+1）²-2|x+1|＜3，
∴

x+1≥0 (x+1)2-2(x+1)＜3

或

x+1＜0 (x+1)2+2(x+1)＜3

，
解得-4＜x＜2，
故答案为（-4，2）．

点评：本题重点考查函数的奇偶性、分段函数、不等式的解法等知识，考查比较综合，属于中档题．