Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
（1）讨论该函数的奇偶性；
（2）当f（x）为偶函数时，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到该函数的奇偶性；
（2）当f（x）为偶函数时，求出a=1，然后根据函数单调性的定义即可证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
∴f（-x）=2^-x+a•2^x（a∈R）．
若函数为偶函数，则f（-x）=2^-x+a•2^x=2^x+a•2^-x，此时a=1，
若函数为奇函数，则f（-x）=2^-x+a•2^x=-f（x）=-2^x-a•2^-x，此时a=-1，
当a≠1且a≠-1时，函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由（1）知，若f（x）为偶函数，则a=1，
此时f（x）=2^x+2^-x，
当x＞0时，设0＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)?

2x1?2x2-1

2x1?2x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)?

2x1?2x2-1

2x1?2x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用函数的单调性的定义，判断函数的单调性，考查定义的应用．