Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a₂+a₄=8，且对任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+2=2a_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n．且满足S1•Sn=2bn-b1，n∈N*，b1≠0，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）易判断{a_n}为等差数列，设公差为d，由a₁=2，a₂+a₄=8可得d的方程，求得d，根据等差数列通项公式可求；
（Ⅱ）令n=1，由S₁S_n=2b_n-b₁可求得b₁=1，则S_n=2b_n-1①，当n≥2时，S_n-1=2b_n-1-1②，两式相减可得递推式，根据递推式可判断{b_n}为等比数列，求出b_n，进而可得a_nb_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由n∈N^*，都有a_n+a_n+2=2a_n+1，知{a_n}为等差数列，设公差为d，
∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2×2+4d=8，解得d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1；
（Ⅱ）由S₁S_n=2b_n-b₁得，
当n=1时，有b12=2b1-b1=b1，∵b₁≠0，∴b₁=1，S_n=2b_n-1①，
当n≥2时，S_n-1=2b_n-1-1②，
①-②得，b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1（n≥2），
则数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，bn=2n-1．
∴a_nb_n=（n+1）•2^n-1，
T_n=2+3×2+4×2²+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1③，
2T_n=2×2+3×2²+4×2³+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ④，
③-④得，-T_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=1+

2n-1

2-1

=（n+1）•2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴T_n=n•2ⁿ．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和要熟练掌握，是高考重点．