Question

在△ABC中，∠B=30°，AC=1．
（1）求：AB+

3

BC的最大值；
（2）求：△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由B的度数求出A+C的度数，用A表示出C，原式利用正弦定理化简后，将表示出的C代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB及b的值代入，利用基本不等式变形求出ac的最大值，再由sinA的值，利用三角形面积公式，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵∠B=30°，∴∠A+∠C=150°，
由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

=

AB

sinC

，AC=1，sinB=

1

2

得：BC=2sinA，AB=2sinC，
∴AB+

3

BC=2sinC+2

3

sinA=2sin（150°-A）+2

3

sinA=2（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）+2

3

sinA=-

3

cosA+（2

3

+1）sinA=

1

16+4 3

sin（A-θ），
（其中sinθ=

3

16+4 3

，cosθ=

2 3 +1

16+4 3

），
则AB+

3

BC的最大值为

1

2 4+ 3

；
（2）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=b=1，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即1=a²+c²-

3

ac≥2ac-

3

ac=（2-

3

）ac，
∴ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
则S_{△ABC最大值}=

1

2

acsinB=

2+ 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．