Question

过x轴正半轴上一点M（x₀，0），作圆C：x2+(y-

2

)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|≥

3

，则x₀的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：如图，当|AB|=

3

时，M在y轴右侧，当M往左运动时，|AB|长变小，往右运动时，|AB|长变大，故连接CA，CB，MC，由MA及MB为圆C的切线，根据切线性质得到CA与AM垂直，CB与BM垂直，由圆C的方程找出圆心坐标和圆的半径，可得到|AC|的长，利用HL证明三角形ACM与三角形BCM全等，再利用三线合一得到CN与AB垂直，N为AB中点，可求出|AN|的长，在直角三角形中由射影定理求出|CM|的长，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的长，可得出此时M的坐标，则x₀的最小值可求．

解答： 解：如图，

过M作圆C的两条切线MA，MB，切点为A，B，连结CA，CB，
则△CAM、△CBM为两个全等的直角三角形，
∴∠BCM=∠ACM，又CA=CB，∴CN⊥AB．
当|AB|取最小值

3

时，|AN|=

3

2

，
由圆C：x2+(y-

2

)2=1半径为1，知|CA|=1，∴|CN|=

12-( 3 2 )2

=

1

2

．
在直角三角形CAM中，由射影定理得|CA|²=|CM|•|CN|，∴|CM|=

|CA|2

|CN|

=

12

1 2

=2，
在直角三角形COM中，∵|OC|=

2

，∴|OM|=

|CM|2-|OC|2

=

22-( 2 )2

=

2

．
∴x₀的最小值为

2

．
故选：B．

点评：本题考查圆的切线方程，考查了直角三角形中的勾股定理和射影定理，解答此题的关键是明确当|AB|最小时x₀的值最小，是中档题．