Question

设f(x)=a-

2

2x+1

，其中a为常数；
（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可得a值；
（2）f（x）+a＞0恒成立，可化为2a＞

2

2x+1

恒成立，等价于2a＞（

2

2x+1

）_max，利用基本函数的性质可求得（

2

2x+1

）_max；

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

=

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

=2，
∴a=1；
（2）f（x）+a＞0恒成立，即a-

2

2x+1

+a＞0，2a＞

2

2x+1

恒成立，等价于2a＞（

2

2x+1

）_max，
而2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
故2a≥2，解得a≥1，
故实数a的取值范围[1，+∞）．

点评：本题考查奇函数的性质、恒成立问题，考查转化思想，恒成立常常转化为函数最值解决，熟记常见基本初等函数的有关性质可提高解题速度．