Question

已知二次函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f(x)=

g(x)

x

．若f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的最值建立方程组，即可求函数g（x）的解析式；
（2）将f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立进行转化为求函数最值，即可求求k的取值范围．

解答： 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1，
∵a＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．
依题意得

g(2)=1 g(3)=4

即

a-a+1+b=1 4a-a+1+b=4

，解得

a=1 b=0

∴g（x）=x²-2x+1．
（2）∵f(x)=

g(x)

x

，
∴f(x)=

g(x)

x

=x+

1

x

-2．
∵f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
即2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立
∴k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1在x∈[-1，1]时恒成立
只需 k≤((

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1)min
令t=

1

2x

，
由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]
设h（t）=t²-2t+1
∵h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
当t=1时，取得最小值0．
∴k≤h（t）_min=h（1）=0．
∴k的取值范围为（-∞，0）．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及不等式恒成立，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题问题的关键．