Question

已知定义在R上的函数f(x)=

b-2x

2x+1

是奇函数
（1）求b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）由定义在实数集上的奇函数有f（0）=0列式求解，或直接由奇函数的定义得恒等式，由系数相等求解b的值；
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）由函数的奇偶性和单调性，把给出的不等式转化为含有t的一元二次不等式，分类变量k后求二次函数的最值，则答案可求．

解答： （1）解：法一、∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f(0)=

b-1

1+1

=0，∴b=1；
法二、由f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函数，则f(-x)=

b-2-x

1+2-x

=

b•2x-1

2x+1

=-f(x)=

2x-b

1+2x

，
∴b•2^x-1=2^x-b对一切实数x都成立，∴b=1；
（2）由（1）知f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是减函数．
证明：设x₁，x₂为R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-1-

2

1+2x2

+1
=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是减函数；
（3）∵f（x）既是奇函数，又是实数集上的减函数，
∴不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0?f（t-2t²）＞f（k）?t-2t²＜k，
∴k＞t-2t2=-2(t-

1

4

)2+

1

8

对t∈R恒成立，
∴k＞

1

8

．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性和奇偶性的定义，训练了数学转化思想方法，考查了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．