Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12；
（1）求a，b，c的值；
（2）若（a-1）³+2a-4=0，（b-1）³+2b=0，求a+b的值；
（3）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f（1）=3，f（2）=12即可求得a与c；
（2）依题意知，f（a-1）=2且f（b-1）=-2，利用导数法易判断奇函数f（x）=x³+2x为增函数，从而可得a+b=2．
（3）f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立?x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，构造函数g（x）=x²+kx+2k-4，由

g(0)≤0 g(1)≤0

即可求得k的取值范围．

解答： 解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，
又f（1）=a+c=3，f（2）=8a+2c=12，
解得：a=1，c=2；
∴a=1，b=0，c=2；
（2））∵f（x）=x³+2x，
又（a-1）³+2a-4=0，（b-1）³+2b=0，
∴（a-1）³+2（a-1）=2，（b-1）³+2（b-1）=-2，
∴f（a-1）=2且f（b-1）=-2，
即f（a-1）=-f（b-1），
∴f（a-1）=f（1-b），
∵f′（x）=3x²+2＞0，故f（x）=x³+2x为增函数，
∴a-1=1-b，
∴a+b=2．
（3）∵f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，即f（x²-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
即x²-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
即x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
令g（x）=x²+kx+2k-4，
则

g(0)≤0 g(1)≤0

，即

2k-4≤0 3k-3≤0

，
解得：k≤1．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想与综合应用能力，属于难题．