Question

已知定点P（

3

，

1

2

），M，N是曲线C：

x2

4

+y²=1上两动点，且直线PM，PN的倾斜角互补，则直线MN的斜率为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线PM的方，椭圆方程与直线PM方程联立求出M的横坐标与斜率的关系，同样求出N的横坐标与斜率的关系；再根据M，N在直线PM、PN上，求出其纵坐标，即可得到直线MN的斜率，可得结论．

解答： 解：设直线PM的方程为y-

1

2

=k（x-

3

），与曲线C：

x2

4

+y²=1联立，消去y可得
（1+4k²）x²-8k（-

3

k+

1

2

）x+4（-

3

k+

1

2

）²-4=0，
∵P在椭圆上，
∴

3

xM=

12k2-4 3 k-3

1+4k2

，
∴x_M=

4 3 k2-4k- 3

1+4k2

，
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x_N=

4 3 k2+4k- 3

1+4k2

．
∴y_M-y_N=k（x_M+x_N-2

3

）=

-4 3 k

1+4k2

．
∵x_M-x_N=

-8k

1+4k2

∴直线MN的斜率kMN=

yM-yN

xM-xN

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运用韦达定理进行求解，属于中档题．