Question

若不等式|a-1|≥x+2y，对满足x²+y²=5的一切实数x，y恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,转化思想

分析：由题意令x=

5

cosθ，y=

5

sinθ，由三角函数的化积公式求出x+2y的最大值，再由不等式|a-1|≥x+2y，对满足x²+y²=5的一切实数x，y恒成立，可得|a-1|大于等于x+2y的最大值，求解绝对值得不等式得a的取值范围．

解答： 解：∵x²+y²=5，
∴令x=

5

cosθ，y=

5

sinθ，
∴x+2y=

5

cosθ+2

5

sinθ=5(

5

5

sinθ+

2 5

5

cosθ)，
令tanφ=2，
∴x+2y=5sin（θ+φ）≤5，
∵不等式|a-1|≥x+2y，对满足x²+y²=5的一切实数x，y恒成立，
∴|a-1|≥5，则a-1≤-5或a-1≥5，
解得：a≤-4或a≥6．
故答案为：a≥6或a≤-4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了圆的参数方程，体现了数学转化思想方法，是中档题．