Question

已知M为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原点．给出下列结论：
①存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
②不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
③存在点M，N，使得∠OMN=90°；
④不存在点M，N，使得∠OMN=90°．
其中，所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点M，N的位置，利用余弦定理判断cos∠OMN的取值范围，即可确定③错误，④正确．

解答： 解：∵过原点倾斜角为60°的直线一定与椭圆由交点，
∴假设y轴右侧的交点是M，
在长轴上取ON=OM，
则△OMN就是等边三角形．
故①正确，②错误；
若点M和点N在y轴两侧，
则∠OMN一定是锐角；
若点M和点N在y轴同侧，
不妨设为在y轴的右侧．
设点M（x，y），
则y2=3-

3

4

x2，且0＜x＜2．
由椭圆性质可知，
当点N是长轴短点时，∠OMN最大，
∵|OM|²=x²+y²，
|MN|²=（x-a）²+y²=（x-2）²+y²，
|ON|²=a²=4
∴|OM|²+|MN|²
=x²+y²+（x-2）²+y²
=2x²-4x+4+2y²
=

1

2

(x-4)2+2
在x∈（0，2）上上式恒小于4，
即|OM|²+|MN|²＜|ON|²，
∴∠OMN＜90°．
故③错误，④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查椭圆的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系，二次函数在固定区间上的最值等知识的综合应用．属于难题．