Question

在△ABC，若有∠A＞∠B，则下列不等式中
①sin∠A＞sin∠B； ②cos∠A＜cos∠B； ③sin2∠A＞sin2∠B； ④cos2A＜cos2∠B
你认为正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,三角形中的几何计算

专题：三角函数的求值

分析：利用三角形的内角和定理、诱导公式、和差化积、正弦余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：①∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，0＜

A-B

2

＜

π

2

．
∴sin

A-B

2

＞0，cos

A+B

2

＞0．
∴sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0，∴①正确；
②∵0＜B＜A＜π，y=cosx在（0，π）内单调递减，∴cosA＜cosB；
③∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，
而cos（A+B）=-cosC可能大于0，等于0，小于0．
∴sin2A-sin2B=2cos（A+B）sin（A-B）的符号不确定，因此不正确；
④∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，
∴sin（A+B）=sinC＞0，sin（A-B）＞0，
∴cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）＜0，∴cos2A＜cos2B．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了三角形的内角和定理、诱导公式、和差化积、正弦余弦函数的单调性，属于难题．