Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|对任意实数x恒成立，则f（x）的最小值是

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：2x²+4x-30=0，得x=-5或x=3，依题意知|f（-5）|≤0，|f（3）|≤0，又|f（-5）|≥0，|f（3）|≥0，于是可知f（-5）=f（3）=0，从而可求得a与b，继而可得答案．

解答： 解：令2x²+4x-30=0，得x=-5或x=3．
∵不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|对任意实数x恒成立，
∴|f（-5）|≤0，|f（3）|≤0，
又|f（-5）|≥0，|f（3）|≥0，
∴f（-5）=f（3）=0，
即25-5a+b=0，9+3a+b=0，
解得：a=2，b=-15．
∴f（x）=x²+2x-15，
又f（x）=（x+1）²-16，
∴f（x）的最小值是-16．
故答案为：-16．

点评：本题考查函数恒成立问题，求得f（-5）=f（3）=0是关键，考查等价转化思想与方程思想的综合运用，考查创新思维与运算求解能力，属于难题．