Question

已知椭圆K 1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（c，0），抛物线K₂：x²=2py（p＞0）的焦点为G，椭圆K₁与抛物线K₂在第一象限的交点为M，若抛物线K₂在点M处的切线l经过椭圆K₁的右焦点，且与y轴交于点D．
（1）若点M（2，1），求c；
（2）求a、c、p的关系式；
（2）试问△MDG能否为正三角形？若能请求出椭圆的离心率，若不能请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）代入点M（2，1）确定抛物线方程，求出点M处的切线，即可求出c；
（2）设出点M的坐标，表示出切线方程，将y=0代入，即可得出c，再将点M的坐标代入椭圆方程即可得出a、c、p的关系式；
（3）假设△MDG能为正三角形，从确定MD的斜率，得出p和c的关系，在代入（2）中的关系，得出a和c的关系式，同除a⁴即可得到关于e的方程．

解答： 解：（1）当M点的坐标为（2，1）时，
抛物线方程为x²=4y，
即y=

x2

4

．
其在点（2，1）M处切线方程为
y-1=x-2．
与x轴的交点为（1，0），
∴c=1．
（2）设M点的坐标为（x0，

x02

2p

），（x₀＞0）
∵y=

1

2p

x2，
∴y′=

x

p

．
∴切线l：y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)，
即：y=

x0

p

x-

x02

2p

．
令x=0得，D（0，

x02

2p

）．
∵切线l过右焦点F，
则x₀=2c，
∴y0=

x02

2p

=

2c2

p

．
∵点M在椭圆上，
∴

4c2

a2

+

4c4

(a2-c2)p2

=1．
（3）∵点G为抛物线的焦点，
∴MG=y0+

p

2

=

x02

2p

+

p

2

，
GD=yG-yD=

p

2

+

x02

2p

，
∴GD=MG，
即△MDG为等腰三角形，
若△MDG为等边三角形，
则直线MD的倾斜角为30°，
即直线MD的斜率为

3

3

，
∴

2c

p

=

3

3

，
∴p=2

3

c，
代入

4c2

a2

+

4c2

(a2-c2)p2

=1得，
12c⁴-16a²c²+3a⁴=0，
同除a⁴得，12e⁴-16e²+3=0，
解得，e2=

4- 7

6

=

7-2 7 +1

12

=

( 7 -1)2

12

或e2=

4+ 7

6

＞1（舍去）
∴e=

7 -1

2 3

=

21 - 3

6

．
综上，若△MDG能为正三角形，此时椭圆的离心率为

21 - 3

6

．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质，椭圆的标准方程和简单几何性质的应用，以及利用齐次式求离心率的方法，属于难题．